Gitter in halbeinfachen Liegruppen

Oberseminar Topologie und Geometrie

Wintersemester 2011/2012

Interessentenkreis:Masterstudenten, Doktoranden
Organisation:Prof. Dr. Thomas Schick,
Dr. Jean-François Planchat, Holger Kammeyer
Termin und Ort:WiSe 2011/12, Di. 16:15-17:45 Uhr, Sitzungszimmer
Vorbesprechung:Montag, 24.10.2011, 14:15 Uhr, Hörsaal 4
Kontakt: , ,
Tel. 0551/3914699

Im Rahmen des Oberseminars Topologie und Geometrie werden wir uns im Wintersemester 2011/12 mit diskreten Untergruppen von Liegruppen beschäftigen, deren Quotientenräume endliches Volumen besitzen. Solche „Gitter“ sind von fundamentaler Bedeutung für weite Teile der Mathematik von Geometrie bis Zahlentheorie.

Gitter sind als große Klasse diskreter Gruppen von eigenem Forschungsinteresse. Ihre Besonderheit liegt darin, dass sie viele Eigenschaften der sie umgebenden Liegruppe widerspiegeln. Sie tragen sogar soviel Information, dass sich umgekehrt unter geeigneten Voraussetzungen ihre Homomorphismen zu Homomorphismen der umgebenden Liegruppen fortsetzen. Die Einsicht, dass Liegruppen eine solche „Starrheit“ besitzen geht auf Grigori Margulis zurück, der dafür 1978 die Fields-Medaille erhielt.

Um seine Arbeit zu verstehen, werden wir Methoden aus sehr verschiedenen mathematischen Gebieten kennenlernen. Zu Beginn werden wir in die Theorie halbeinfacher reeller und komplexer Liealgebren und -gruppen einführen. Wir werden dann nach einem kurzen Exkurs über algebraische Gruppen in den arithmetischen Gruppen viele Beispiele von Gittern erkennen. Für die meisten Liegruppen sind diese in einem noch zu präzisierenden Sinne nach Margulis sogar die einzigen Gitter. Zunächst wenig offensichtlich ist, dass der Schlüssel zu den Starrheitsresultaten in Sätzen der Ergodentheorie zu finden ist. Diese werden vor den Hauptergebnissen den letzten Teil des Seminars ausmachen.

Die ersten Vorträge werden von den Organisatoren selbst gehalten, sodass die weiteren Vorträge bei der Vorbesprechung am ersten Tag der Vorlesungszeit aufgeteilt werden.

All talks can be given either in German or English.

Programm

Halbeinfache Liealgebren und Liegruppen I
Holger Kammeyer

Sätze von Engel und Lie, Killing-Form, Charakterisierungen halbeinfacher Liealgebren, Jordan-Zerlegung

Benoist IS. 16-33
Halbeinfache Liealgebren und Liegruppen II
Jean-François Planchat

sl2-Darstellungen, Satz von Jacobson-Morozov, Wurzelsysteme, Satz von Chevalley

Benoist IS. 16-33
Halbeinfache Liealgebren und Liegruppen III
Madeleine Jotz

Cartan- und Iwasawazerlegungen, parabolische Untergruppen

Benoist IS. 16-33
Satz von Howe-Moore und algebraische Gruppen I
Robin Deeley

Satz von Howe-Moore, erste Definitionen über algebraische Gruppen, Resultate zu algebraischen Wirkungen

Benoist IS. 49-53, 34-41
Algebraische Gruppen II
Bernadette Lessel

Satz von Chevalley über k-Gruppen, halbeinfache und unipotente Elemente, k-Rang

Benoist IS. 34-41
Arithmetische Gruppen I
Jean-François Planchat

Elementare Eigenschaften, Satz von Borel-Harish-Chandra I

Benoist IS. 42-43, 4-13
Arithmetische Gruppen II
Jean-François Planchat

Satz von Borel-Harish-Chandra II

Benoist IS. 4-13
Gitter I
Simon Naarmann

Elementare Eigenschaften, Beispiele, Irreduzibilität

Witte MorrisS. 41-47
Gitter II
Bogdan Nica

Weitere Eigenschaften von Gittern, z.B. Tits-Alternative, Selberg-Lemma, Gitter sind endlich erzeugt

Witte MorrisS. 57-69
Gitter III
Thomas Schick

Fürstenberg-Lemma, Borel-Dichtheitssatz, Mittelbare Wirkungen und Satz von Fürstenberg

Benoist IS. 59-60, 63-65
Ergodentheorie I
Frank Pfäffle

Erste Begriffe, Satz von Birkhoff, Martingale und Doob-Zerlegung

Benoist IS. 66-78
Ergodentheorie II
Vadim Alekseev

Stationäre Verteilungen, Kontraktion und Proximalität, Existenz und Eindeutigkeit K-invarianter stationärer Verteilungen

Benoist IS. 66-78
Superstarrheit
Jean-François Planchat und Holger Kammeyer

optional: Margulis' Sätze über Arithmetizität und Normalteiler von Gittern

Benoist IS. 81-89

Literatur

Zwar wird sich das Seminar inhaltlich stark an Yves Benoists Skript „Réseaux des groupes de Lie“ in französischer Sprache anlehnen, jedoch gibt es über dieses Material auch gut verständliche englischsprachige Literatur:

Skripten

Yves Benoist IRéseaux des groupes de Lie
Yves Benoist IIFive lectures on lattices in semisimple Lie groups
Dave Witte MorrisIntroduction to Arithmetic Groups

Lehrbücher

Superstarrheit
Robert J. ZimmerErgodic Theory and Semisimple Groups, Birkhäser 1984
Grigori MargulisDiscrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Springer 1991
Lietheorie
James HumphreysIntroduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer 1972
Sigurdur HelgasonDifferential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, AMS 2001
Jean-Pierre SerreComplex Semisimple Lie Algebras, Springer 2001
Algebraische Gruppen
Tonny SpringerLinear Algebraic Groups, Birkhäuser 1998
James HumphreysLinear Algebraic Groups, Springer 1975
Arithmetische Gruppen und Gitter
M.S. RaghunathanDiscrete Subgroups of Lie Groups, Springer 1972

Teilnehmer/-innen

  • Thomas Schick
  • Jean-François Planchat
  • Holger Kammeyer
  • Vadim Alekseev
  • Robin Deeley
  • Frank Pfäffle
  • Bogdan Nica
  • Ingo Witt
  • Bernadette Lessel
  • Madeleine Jotz
  • Simon Naarmann
  • Rohan Lean
  • Malte Dehling
Weitere Interessenten bitte per E-Mail vorab melden oder direkt zur Vorbesprechung kommen.
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