Gitter in halbeinfachen Liegruppen

Oberseminar Topologie und Geometrie

Wintersemester 2011/2012

Im Rahmen des Oberseminars Topologie und Geometrie werden wir uns im Wintersemester 2011/12 mit diskreten Untergruppen von Liegruppen beschäftigen, deren Quotientenräume endliches Volumen besitzen. Solche „Gitter“ sind von fundamentaler Bedeutung für weite Teile der Mathematik von Geometrie bis Zahlentheorie.

Gitter sind als große Klasse diskreter Gruppen von eigenem Forschungsinteresse. Ihre Besonderheit liegt darin, dass sie viele Eigenschaften der sie umgebenden Liegruppe widerspiegeln. Sie tragen sogar soviel Information, dass sich umgekehrt unter geeigneten Voraussetzungen ihre Homomorphismen zu Homomorphismen der umgebenden Liegruppen fortsetzen. Die Einsicht, dass Liegruppen eine solche „Starrheit“ besitzen geht auf Grigori Margulis zurück, der dafür 1978 die Fields-Medaille erhielt.

Um seine Arbeit zu verstehen, werden wir Methoden aus sehr verschiedenen mathematischen Gebieten kennenlernen. Zu Beginn werden wir in die Theorie halbeinfacher reeller und komplexer Liealgebren und -gruppen einführen. Wir werden dann nach einem kurzen Exkurs über algebraische Gruppen in den arithmetischen Gruppen viele Beispiele von Gittern erkennen. Für die meisten Liegruppen sind diese in einem noch zu präzisierenden Sinne nach Margulis sogar die einzigen Gitter. Zunächst wenig offensichtlich ist, dass der Schlüssel zu den Starrheitsresultaten in Sätzen der Ergodentheorie zu finden ist. Diese werden vor den Hauptergebnissen den letzten Teil des Seminars ausmachen.

Die ersten Vorträge werden von den Organisatoren selbst gehalten, sodass die weiteren Vorträge bei der Vorbesprechung am ersten Tag der Vorlesungszeit aufgeteilt werden.

All talks can be given either in German or English.

Programm

Literatur

Zwar wird sich das Seminar inhaltlich stark an Yves Benoists Skript „Réseaux des groupes de Lie“ in französischer Sprache anlehnen, jedoch gibt es über dieses Material auch gut verständliche englischsprachige Literatur:

Skripten

Lehrbücher

Teilnehmer/-innen